Ước trong toán học là gì? Tất tần tật về ước và bội số trong toán học

Trong toán học, ước số và bội số là hai khái niệm cơ bản rất quan trọng. Chúng được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến phân tích số và giải các phương trình, bất phương trình. Vậy ước trong toán học là gì? Làm thế nào để tìm ước số hay bội số của một số? Các tính chất của chúng là gì? Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về ước số và bội số cùng những ứng dụng trong thực tế.

1. Ước số là gì?

1.1. Định nghĩa

Ước số là số tự nhiên chia hết cho số khác mà không có phần dư. Nói cách khác, nếu một số a chia hết cho một số b thì b được gọi là ước số của a. Ký hiệu: b | a, đọc là “b chia hết cho a” hoặc “b là ước của a”

1.2. Ví dụ

• Ước số của số 6: 1, 2, 3, và 6.
• Ước số của số 10: 1, 2, 5, và 10.

1.3. Tính chất

• Một số tự nhiên luôn chia hết cho 1 và chính nó. Vì vậy, 1 và chính nó là hai ước số đầu tiên của mỗi số tự nhiên.
• Nếu b | a và c | a thì bc | a. Điều này có nghĩa là bội số của hai số ước chung của a cũng là ước của a.
• Nếu b | a và a | c thì b | c. Điều này có nghĩa là nếu b là ước số của a và a là ước số của c thì b cũng là ước số của c.

2. Ước chung lớn nhất là gì?

2.1. Định nghĩa

Ước chung lớn nhất (Greatest Common Divisor – GCD) của hai hoặc nhiều số tự nhiên là ước số lớn nhất mà tất cả các số đều chia hết. Ký hiệu: (a_1, a_2, …, a_n) = gcd(a_1, a_2, …, a_n).

2.2. Cách tìm ước số

Có hai phương pháp để tìm ước chung lớn nhất của hai hoặc nhiều số tự nhiên.

Phương pháp thứ nhất: Tìm tất cả các ước số và tìm ước chung lớn nhất

Phương pháp này đơn giản nhưng thường không hiệu quả khi các số lớn. Các bước thực hiện:

• Liệt kê tất cả các ước số của các số cần tìm GCD.
• Tìm các ước số chung của tất cả các số.
• Chọn ước số chung lớn nhất trong các ước số chung đó.

Phương pháp thứ hai: Sử dụng thuật toán Euclid

Thuật toán Euclid là một phương pháp hiệu quả hơn để tính GCD của hai số tự nhiên. Phương pháp này dựa trên tính chất: \gcd(a, b) = \gcd(b, a \mod b).

Các bước thực hiện:

• Đặt a là số lớn hơn và b là số nhỏ hơn.
• Tính r = a \mod b, r là phần dư của phép chia a cho b.
• Nếu r = 0 thì \gcd(a, b) = b. Ngược lại, ta đặt a = b và b = r và quay lại bước 2.

2.3. Ví dụ

Tìm GCD của 12 và 18.

• Sử dụng phương pháp thứ nhất:
• Ước số của 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Ước số của 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Ước số chung: 1, 2, 3, 6.
• GCD(12, 18) = 6.
• Sử dụng phương pháp thứ hai:
  • Đặt a = 18 và b = 12.
  • r_1 = 18 \mod 12 = 6.
  • Đặt a = 12 và b = 6.
  • r_2 = 12 \mod 6 = 0.
  • Vậy, GCD(12, 18) = 6.

2.4. Tính chất

• \gcd(a_1, a_2, …, a_n) = \gcd(\gcd(a_1, a_2, …, a_{n-1}), a_n).
• Nếu a và b cùng là bội số của một số tố, thì \gcd(a, b) = 1. Điều này được gọi là tính chất cơ bản của hai số nguyên tố cùng nhau (Relatively Prime).
• Nếu a | b, thì \gcd(a, b) = a.

3. Ước số chung

3.1. Định nghĩa

Ước số chung (Common Divisor) của hai hoặc nhiều số tự nhiên là ước số của tất cả các số đó. Ký hiệu: (a_1, a_2, …, a_n).

3.2. Ví dụ

• Ước số chung của số 12 và số 18: 1, 2, 3, 6.
• Ước số chung của số 10, 15 và 20: 1, 5.

3.3. Tính chất

• Nếu \gcd(a_1, a_2, …, a_n) = 1 thì các số đó được gọi là tương đối nguyên tố với nhau (Relatively Prime).

4. Ước số chung lớn nhất

4.1. Định nghĩa

Ước số chung lớn nhất (Least Common Multiple – LCM) của hai hoặc nhiều số tự nhiên là bội số nhỏ nhất chung của các số đó. Ký hiệu: [a_1, a_2, …, a_n] = \lcm(a_1, a_2, …, a_n).

4.2. Cách tính

Có hai phương pháp để tính LCM của hai hoặc nhiều số tự nhiên.

Phương pháp thứ nhất: Tính tất cả các bội số và tìm bội số nhỏ nhất

Phương pháp này đơn giản nhưng thường không hiệu quả khi các số lớn. Các bước thực hiện:

• Liệt kê tất cả các bội số của các số cần tìm LCM.
• Tìm các bội số chung nhỏ nhất trong các bội số đó đó.

Phương pháp thứ hai: Sử dụng GCD

Tính LCM bằng cách sử dụng công thức: \lcm(a, b) = \dfrac{a \times b}{\gcd(a, b)}.

Các bước thực hiện:

• Tính GCD của các số cần tìm LCM.
• Tính tích của các số đó.
• Chia tích đó cho GCD đã tính ở bước 1.

4.3. Ví dụ

Tìm LCM của 12 và 18.

• Sử dụng phương pháp thứ nhất:
• Bội số của 12: 12, 24, 36, …
• Bội số của 18: 18, 36, 54, …
• Bội số chung nhỏ nhất: 36.
• LCM(12, 18) = 36.
• Sử dụng phương pháp thứ hai:
  • GCD(12, 18) = 6.
  • 12 \times 18 = 216.
  • \lcm(12, 18) = \dfrac{12 \times 18}{6} = 36.

4.4. Tính chất

• \lcm(a_1, a_2, …, a_n) = \lcm(\lcm(a_1, a_2, …, a_{n-1}), a_n).
• Nếu a và b cùng là bội số của một số tố, thì \lcm(a, b) = ab.

5. Bài tập ứng dụng về ước số

Bài tập 1

Tìm GCD(24, 36).

Phương pháp thứ nhất:

• Ước số của 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• Ước số của 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
• Ước số chung: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• GCD(24, 36) = 12.

Phương pháp thứ hai:

• Đặt a = 36 và b = 24.
• r_1 = 36 \mod 24 = 12.
• Đặt a = 24 và b = 12.
• r_2 = 24\mod 12 = 0.
• Vậy, GCD(24, 36) = 12.

Bài tập 2

Tìm LCM(24, 36).

• GCD(24, 36) = 12.
• 24 \times 36 = 864.
• \lcm(24, 36) = \dfrac{24 \times 36}{12} = 72.

Vậy, LCM(24, 36) = 72.

6. Bội số là gì?

6.1. Định nghĩa

Bội số (Multiple) của một số tự nhiên là tích của số đó với một số tự nhiên. Nói cách khác, nếu a và b là hai số tự nhiên, thì b được gọi là bội số của a nếu tồn tại một số tự nhiên k sao cho b = ka. Ký hiệu: a \mid b, đọc là “a chia hết cho b” hoặc “b là bội số của a”.

6.2. Ví dụ

• Bội số của số 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
• Bội số của số 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, …

7. Bội số chung nhỏ nhất là gì?

7.1. Định nghĩa

Bội số chung nhỏ nhất (Least Common Multiple – LCM) của hai hoặc nhiều số tự nhiên là bội số nhỏ nhất chung của các số đó. Ký hiệu: [a_1, a_2, …, a_n] = \lcm(a_1, a_2, …, a_n).

7.2. Cách tính

Có hai phương pháp để tính LCM của hai hoặc nhiều số tự nhiên.

Phương pháp thứ nhất: Tính tất cả các bội số và tìm bội số nhỏ nhất

Phương pháp này đơn giản nhưng thường không hiệu quả khi các số lớn. Các bước thực hiện:

• Liệt kê tất cả các bội số của các số cần tìm LCM.
• Tìm các bội số chung nhỏ nhất trong các bội số đó.

Phương pháp thứ hai: Sử dụng GCD

Tính LCM bằng cách sử dụng công thức: \lcm(a, b) = \dfrac{a \times b}{\gcd(a, b)}.

Các bước thực hiện:

• Tính GCD của các số cần tìm LCM.
• Tính tích của các số đó.
• Chia tích đó cho GCD đã tính ở bước 1.

7.3. Ví dụ

Tìm LCM của 12 và 18.

• Sử dụng phương pháp thứ nhất:
• Bội số của 12: 12, 24, 36, …
• Bội số của 18: 18, 36, 54, …
• Bội số chung nhỏ nhất: 36.
• LCM(12, 18) = 36.
• Sử dụng phương pháp thứ hai:
  • GCD(12, 18) = 6.
  • 12 \times 18 = 216.
  • \lcm(12, 18) = \dfrac{12 \times 18}{6} = 36.

7.4. Tính chất

• \lcm(a_1, a_2, …, a_n) = \lcm(\lcm(a_1, a_2, …, a_{n-1}), a_n).
• Nếu a và b cùng là bội số của một số tố, thì \lcm(a, b) = ab.

Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa hy vọng rằng qua bài viết giải thích ước trong toán học là gì, các bạn có thể hiểu thêm về khái niệm toán học này.