Tìm hiểu đồng quy là gì? Điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy

Đồng quy trong Toán học là một khái niệm quan trọng và xuất hiện trong chương trình học của lớp 7, và được mở rộng và nghiên cứu chi tiết hơn trong các lớp Toán học 8 và 9. Để tìm hiểu thêm đồng quy là gì, bạn có thể xem thông tin chi tiết tại trang web Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa.

1. Tìm hiểu đồng quy là gì? 

Đồng quy là gì? Đồng quy là sự gặp nhau tại một điểm. Trong tam giác, ba đường cao sẽ hội tụ tại một điểm duy nhất, được gọi là trực tâm tam giác. Một tính chất quan trọng của sự đồng quy giữa ba đường cao trong tam giác là: nếu hai đường cao bất kỳ cắt nhau tại một điểm, thì đường cao thứ ba sẽ đi qua điểm giao đó. Đây là định nghĩa cơ bản khi nói về khái niệm đồng quy trong hình học toán học.

Trong lĩnh vực đại số, đồng quy là phương pháp chứng minh rằng ba đường thẳng bất kỳ gặp nhau tại một điểm chung. Để làm điều này, trước hết ta cần xác định điểm giao của hai trong số ba đường thẳng, sau đó chứng minh rằng đường thẳng thứ ba cũng đi qua điểm giao đó.

2. Các tính chất của đồng quy là gì?

• Trong tam giác, nếu hai đường cao cắt nhau tại một điểm, thì đường cao thứ ba cũng sẽ đi qua điểm đó.
• Trực tâm của một tam giác là điểm mà ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại đó.
• Trực tâm của tam giác cũng được gọi là tâm trọng tâm, và nó chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần, với 2/3 độ dài từ tâm đến đỉnh.
• Tam giác có ba đường phân giác đồng quy tại một điểm, được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Nếu hai đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm, thì đường phân giác thứ ba cũng sẽ đi qua điểm đó, và ba điểm giao điểm của các đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác.
• Đường tròn ngoại tiếp tam giác là nơi ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm cắt nhau.
• Nếu hai đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm, thì đường trung trực thứ ba cũng sẽ đi qua điểm đó, và ba điểm giao điểm của các đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác.

3. Điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy là gì?

• Trọng tâm: Điểm nằm ở giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác và có đặc điểm là khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng nhau và gấp đôi khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện.
• Tâm ngoại tiếp: Điểm nằm ở giao điểm của các đường trung trực của ba cạnh của tam giác.
• Trực tâm: Điểm nằm ở giao điểm của ba đường cao của tam giác, nơi mà các đường cao cắt nhau.
• Tâm nội tiếp: Điểm nằm ở giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
• Tâm bàng tiếp: Điểm nằm ở giao điểm của tia phân giác của mỗi góc trong tam giác và tia phân giác của mỗi góc ngoài ở hai đỉnh còn lại, tức là giao điểm của các tâm bàng tiếp của các góc tam giác.

4. Cách chứng minh đường thẳng đồng quy là gì?

Sử dụng định nghĩa: Ba đường thẳng được gọi là đồng quy khi chúng cùng đi qua một điểm hoặc nếu có một điểm nào đó nằm trên tất cả ba đường thẳng đó.

Áp dụng định lý Ceva: Cho tam giác ABC và 3 điểm bất kì M, N, P nằm trên cạnh BC, CA, AB. Khi đó, 3 đường thẳng AM, BN, CP sẽ đồng quy khi và chỉ khi tỷ lệ ba tỷ lệ độ dài đoạn MN, NP, và PM trên các cạnh BC, CA, và AB lần lượt là bằng nhau.

Sử dụng tính chất đồng quy tam giác:

• Sử dụng trung tuyến: 3 đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại trọng tâm của tam giác.
• Sử dụng phân giác: 3 đường phân giác đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• Sử dụng trung trực: 3 đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Sử dụng đường cao: 3 đường cao đồng quy tại trực tâm tam giác.

Sử dụng đường Euler: Ba điểm trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng thì đường thẳng đi qua 3 điểm đó được gọi là đường thẳng Euler của tam giác.

5. Bài tập về đồng quy 

Bài tập 1: Gọi M là trung điểm của AB và X là điểm chung của AD và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Chúng ta cần chứng minh rằng MX đi qua một điểm cố định.

Khi đó, ta thấy tam giác ABD và tam giác MXC đều có cặp góc đồng nhất (do góc BDA và góc MXC cùng nằm trên cùng một cung thứ nhất của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD). Điều này suy ra:

• ∠BDA=∠MXC

Tương tự, ta cũng có:

• ∠BCA=∠MXC

Vì vậy, ta thấy ∠BDA=∠BCA.

Nhưng điều này có nghĩa là điểm D nằm trên đường thẳng đi qua điểm chung của các đoạn thẳng AB và MX, tức là MX đi qua một điểm cố định. Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng đường thẳng MX đồng quy với đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

Bài tập 2: Để chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của AC và BD đồng quy với đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD, ta sử dụng định lý về tứ giác điểm đều (còn gọi là định lý Newton).

Gọi E là trung điểm của AC và F là trung điểm của BD. Ta cần chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua tâm O của đường tròn nội tiếp ABCD.

• Vì E là trung điểm của AC, nên OE là đoạn thẳng nối trung điểm của AC và tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tương tự, OF là đoạn thẳng nối trung điểm của BD và tâm O.
• Ta biết rằng một tam giác có hai trung tuyến của nó là đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh của tam giác. Vì vậy, tam giác EAC và tam giác BDC có trung tuyến là đoạn thẳng EF.
• Theo định lý về tứ giác điểm đều, nếu tứ giác EACB là điểm đều, thì đoạn thẳng nối trung điểm của các đỉnh của tứ giác sẽ đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác đó.
• Bây giờ, để chứng minh rằng tứ giác EACB là điểm đều, ta cần chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác ABCD là đường tròn ngoại tiếp tam giác EACB.

Vì tam giác ABCD là tam giác nội tiếp đường tròn, nên các góc ở cùng một cung thứ nhất trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCD bằng nhau. Chúng ta có:

• ∠ADB=∠ACB

Do đó, tam giác ADB và tam giác ACB đồng dạng.

Từ đồng dạng của tam giác, ta có:

• AE/EC = AB/BC = DB/BC = DF/FC

Tương tự, ta cũng có:

• BE/EA = BC/CA = CB/CB = 1

Vì vậy, tam giác EAC và tam giác BAE đồng dạng.

Từ đồng dạng của tam giác, ta có:

• ∠ABE=∠AEC

Nhưng ta biết rằng $\angle ABE$ và $\angle AEC$ đều nằm trên cùng một cung thứ nhất của đường tròn ngoại tiếp tam giác E.ACB.

Vì vậy, tam giác E.ACB là tam giác nội tiếp đường tròn.

Theo định lý về tứ giác điểm đều, đường thẳng EF đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác E.ACB.

Bài tập 3: Để chứng minh rằng tứ giác ABOC là tứ giác đồng quy khi và chỉ khi tứ giác ADOB là tứ giác đồng quy, ta cần chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABOC là cùng một điểm với tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác ADOB.

Nếu tứ giác ABOC là tứ giác đồng quy, thì tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABOC và tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác ADOB là cùng một điểm O.

Nếu tứ giác ADOB là tứ giác đồng quy, thì tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABOC và tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác ADOB cũng là cùng một điểm O.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác ABOC là tứ giác đồng quy khi và chỉ khi tứ giác ADOB là tứ giác đồng quy.

Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa hy vọng rằng, thông tin chi tiết trong bài viết đồng quy là gì sẽ giúp ích bạn.  Nếu có bất kỳ điều gì quý vị muốn tìm hiểu thêm hoặc cần hỗ trợ, xin vui lòng gọi đến số HOTLINE 1900 2276 để liên hệ với chúng tôi.