Đa thức là gì? Và các phép toán của đa thức như thế nào?

Đa thức là gì trong toán học? Đây là một câu hỏi mà nhiều học sinh lớp 7 thường gặp phải khi học trong môn Toán. Để trả lời cho câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về đơn thức và cách xây dựng và tính toán với các đa thức. Hãy theo dõi bài viết của Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa nhé.

1. Đơn thức là gì?

Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một số hạng, có dạng ax^n, trong đó a là một số khác 0 được gọi là hệ số của đơn thức, x là biến số, n là một số tự nhiên không âm được gọi là bậc của đơn thức. Ví dụ: 3x^2, -5y, 7z^3, -2/3xy^4 là các đơn thức.

Phần biến của đơn thức là phần bao gồm các biến số và các số mũ của chúng. Ví dụ: phần biến của đơn thức 3x^2 là x^2, phần biến của đơn thức -2/3xy^4 là xy^4.

2. Đa thức là gì?

đa thức là một biểu thức đại số được xây dựng bằng cách cộng hoặc trừ các đơn thức với nhau. Mỗi đơn thức trong biểu thức được gọi là một hạng tử của đa thức. Ví dụ: x^2 + 3x – 5, y^3 – 2y + 1, z^4 – z^2 + z – 1 là các đa thức.

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức. Ví dụ: bậc của đa thức x^2 + 3x – 5 là 2, bậc của đa thức y^3 – 2y + 1 là 3.

Cách thu gọn và tính giá trị của đa thức

Để thu gọn một đa thức, ta cần cộng hoặc trừ các hạng tử có cùng phần biến với nhau và giữ nguyên các hạng tử khác nhau. Ví dụ: để thu gọn đa thức x^2 + 2x – x + 3 – x^2 + x – 4, ta có:

x^2 + 2x – x + 3 – x^2 + x – 4

= (x^2 – x^2) + (2x – x + x) + (3 – 4) = 0 + 2x + (-1) = 2x – 1

Để tính giá trị của một đa thức tại một giá trị cụ thể của biến số, ta chỉ cần thay giá trị đó vào biến số và tính theo quy tắc tính toán thông thường. Ví dụ: để tính giá trị của đa thức x^2 + 3x – 5 tại x = 2, ta có:

P(2) = (2)^2 + 3(2) – 5

= 4 + 6 – 5 = 5

3. Các phép toán của đa thức là gì

Phép toán trong đa thức (polynomial) gồm cộng, trừ, nhân, chia, và rút gọn đa thức. Dưới đây là mô tả cụ thể về các phép toán này:

Cộng và trừ đa thức:

Để cộng hai đa thức, bạn cộng các hệ số tương ứng của các thành phần cùng bậc. Ví dụ:

(2x^3 + 4x^2 – 5x + 7) + (3x^3 – x^2 + 2x – 3) = 5x^3 + 3x^2 – 3x + 4

Để trừ hai đa thức, bạn trừ các hệ số tương ứng của các thành phần cùng bậc. Ví dụ:

(2x^3 + 4x^2 – 5x + 7) – (3x^3 – x^2 + 2x – 3) = -x^3 + 5x^2 – 7x + 10

Nhân đa thức:

Để nhân hai đa thức, bạn nhân từng thành phần của đa thức đầu tiên với từng thành phần của đa thức thứ hai và sau đó tổng hợp các thành phần sau khi nhân. Ví dụ:

(2x^2 + 3x – 4) * (4x^3 – x^2 + 2) = 8x^5 + 5x^4 – 5x^3 + 12x^4 – 3x^3 + 6x^2 – 16x^3 + 10x^2 – 8x

Chia đa thức:

Để chia một đa thức cho một đa thức khác, bạn sử dụng quy tắc chia đa thức, tương tự như chia số học. Ví dụ:

(8x^3 + 4x^2 – 2x + 1) / (4x^2 – x + 3)

Kết quả sẽ là một đa thức chia và một đa thức dư (nếu có).

Rút gọn đa thức:

Rút gọn đa thức đồng nghĩa với việc loại bỏ các thành phần đa thức có hệ số 0 và kết hợp các thành phần cùng bậc. Ví dụ:

3x^3 + 0x^2 – 2x^3 + 5x + 0 = x^3 + 5x

Các phép toán này giúp bạn thực hiện các phép tính cơ bản với đa thức và giải quyết các bài toán liên quan đến chúng trong toán học.

4. Các dạng bài tập đa thức là gì?

Có nhiều dạng bài tập liên quan đến đa thức trong toán học, bao gồm các dạng sau đây:

• Cộng và Trừ đa thức: Bài tập yêu cầu bạn cộng hoặc trừ các đa thức. Đây là dạng bài tập cơ bản để làm quen với phép cộng và trừ đa thức.
• Nhân đa thức: Bài tập này liên quan đến việc nhân hai đa thức lại với nhau. Bạn cần sử dụng quy tắc nhân đa thức để giải quyết chúng.
• Chia đa thức: Trong dạng bài này, bạn sẽ phải chia một đa thức cho một đa thức khác. Để làm điều này, bạn cần sử dụng phép chia đa thức và xác định kết quả chia và đa thức dư (nếu có).
• Rút gọn đa thức: Bài tập này yêu cầu bạn rút gọn đa thức, loại bỏ các thành phần có hệ số 0 và kết hợp các thành phần cùng bậc.
• Tìm bậc của đa thức: Trong bài tập này, bạn cần xác định bậc của đa thức, tức là bậc của thành phần có bậc lớn nhất trong đa thức.
• Tìm Giá trị của đa thức: Bạn có thể được yêu cầu tính giá trị của một đa thức tại một giá trị cụ thể của biến.
• Phân Tích đa thức: Bài tập này yêu cầu bạn phân tích một đa thức thành các nhân tử, tức là tìm các đa thức con khi nhân lại với nhau sẽ tạo thành đa thức ban đầu.
• Giải Phương Trình đa thức: Bạn có thể cần giải các phương trình đa thức, tức là xác định giá trị của biến khi đa thức bằng một giá trị cụ thể.
• Tìm đa thức GCD (Ước chung lớn nhất): Trong bài tập này, bạn sẽ phải tìm đa thức ước chung lớn nhất (GCD) của hai hoặc nhiều đa thức.
• Ứng dụng thực tế: Một số bài tập đa thức có thể liên quan đến các vấn đề thực tế như quy hoạch tài nguyên, tối ưu hóa, hoặc mô hình hóa sự biến đổi trong thời gian.

Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa đã giới thiệu cho các bạn lý thuyết về môn Toán học lớp 7, chủ đề là đa thức là gì. Để nâng cao thành tích học tập hy vọng tài liệu này đã được tổng hợp sẽ hỗ trợ cho việc học tập của các bạn học sinh khi bạn đã tham khảo.